夜讀·開卷有益

大部分人會在考完試之后，迅速把數學公式忘得干干凈凈。

(相關資料圖)

有的人認為，數學是數學，生活是生活。數學的概念屬于數學家們，和自己沒有任何關系。

但如果我告訴你，小到電飯鍋為什么不會糊底、筷子夾不起來豌豆丁怎么辦，大到如何更好地與他人相處、如何選擇自己的職業，這些問題其實都蘊含著深刻的數學思維，你敢相信嗎？

北京航空航天大學副教授、博士生導師、知識星球廣受歡迎的劉雪峰老師的新作《心中有數》是一本輕松有趣、人人都能讀懂的數學思維書，里面的所有案例都來自生活中常見的事。

它能為文科生打開一扇新世界的窗戶，在你困惑和迷惘時，從另外一個視角給你提供啟發；它還能讓理科生重新理解那些似曾相識的數學公式，讓數學思維成為烙印在你大腦里的思維方式。

用數學思維來洞見生活有什么好處呢？一起來閱讀今天的有趣文章。

平靜接受現實，努力改變概率

1.1 小王和老李的故事

小王大學畢業工作了幾年后，因為不喜歡朝九晚五的生活，所以找了幾個志同道合的朋友，一起在山清水秀的家鄉開了一家民宿。雖然他新進入這個領域，經驗不多，但他對這個行業有很大的熱情。小王經常看一些經濟管理類的書籍，也喜歡看關于如何成功、如何鼓勵自己的書籍。

每天早上起床后，小王會站在鏡子前握起拳頭對自己大聲說：“你會成功的！”他相信“一分耕耘、一分收獲”，他把自己最喜歡的一句格言“事在人為”，掛在臥室的墻上。

可是，雖然他努力工作，但是他在經營民宿的過程中不斷碰到各種困難。在裝修期間，工期不斷被拖延，好不容易把民宿開起來，又為如何宣傳傷腦筋。積累了幾年口碑后，雖然游客慢慢多了起來，可是因為房租、水電費和各種稅費，民宿長期處于勉強維持收支平衡的境地。旅游淡季時，游客很少，民宿的接待能力充盈；旺季時，民宿的接待能力明顯不足。前兩年，小王和朋友們花大價錢擴建了民宿，準備在旺季大干一場，可是突如其來的疫情又讓這些投入看不到回報。

這半年來，小王很迷茫，他經常覺得自己的努力并沒有得到回報。他不知道為什么命運要這樣對自己，也不知道自己做錯了什么。有時候他看著掛在墻上的“事在人為”，往往生出一種無力感。

老李雖然還不到40歲，但是他自嘲自己的“倒霉”就像“開了掛”。他上小學時，成績較好，排在年級前20，可小升初時考試發揮失常，只考上了省城一所普通初中；上初中時，成績也不錯，結果中考失誤，上了末流重點高中；上高中時，也算勤奮努力，應該可以考上一所211大學，可是高考發揮失常，只考上了一所普通大學。上大學期間，他省吃儉用，用省下來的錢買了一輛電動車，第二天騎車就摔了一跤，然后在床上躺了一周，傷還沒好，車就被偷走了。

畢業之后，他進了一家待遇還不錯的公司，可是第一個項目因為自己一個小疏忽失敗了，丟了工作。后來看見別人炒股，他也開始炒股，可是他一買就跌，一賣就漲，行情好的時候，他反而在虧錢。后來工作了幾年，正準備買房，可是朋友急需用錢，臨時借給朋友40萬元，結果朋友投資失敗跳樓了，錢也打了水漂兒。因為這件事妻子和他大吵了一架，二人差點離婚。

發生這么多事情，老李痛苦了很長一段時間。偶然有一次，他遇到了一個朋友，朋友指點了他幾句，他覺得自己似乎想通了。之后，每當妻子勸他努力工作時，他總說“富貴終有命，那么努力干什么”。他認為一個人做什么工作，是否有錢，職位高低，另一半是誰，等等，在出生時就決定了，再努力也沒用，只要按照命運的“劇情”演下去就行了。

1.2是“事在人為”還是“宿命論”？

上面的小王和老李，實際上代表了兩個極端的世界觀。

小王的世界觀總體是樂觀的，這可以用他掛在墻上的格言來概括，就是“事在人為”。

事在人為的解釋是“雖然人生無奈，但是我們通過自己的努力，一定可以得到自己想要的結果”。

而老李的世界觀總體是悲觀的，即相信“宿命論”。認同宿命論的人認為一切都是確定的，我們什么都不需要做，一切冥冥中自有安排。

有這兩種世界觀的人不在少數。

然而，在我看來，這兩種世界觀都有問題。堅持“事在人為”的人，雖然樂觀而積極，但是容易因現實中的挫折與打擊而產生無力感。就像小王開民宿被疫情影響一樣，似乎不是所有的事情都能靠努力改變。

而“宿命論”看起來也有問題：成功的人真的只是靠運氣好嗎？我們的努力似乎有時候也會給我們回報。一個放棄努力的人真的可以獲得自己想要的結果嗎？

在我看來，正確的世界觀，應該在這兩者之間，我稱其為概率的世界觀。

1.3概率的世界觀

在概率的世界觀中，核心思想有兩個：

第一，我們無法在事前保證很多事情的最終結果。

第二，這個結果發生的概率，是我們可以靠努力改變的。

第一句話的意思是，絕大多數事情到底會不會發生或出現你想要的結果，在事前都是不確定的，沒有人知道。

第二句話的意思是，雖然我們不能在事前確定結果，但是人的努力可以改變結果發生的概率。

我們來舉個例子。

一位農民無法保證自己今年這塊地的收成一定很好，因為有時候惡劣天氣、病蟲害可能會摧毀他一年的努力。這就是在事前不能夠保證事情的結果。

但是，如果他努力、認真地勞作，做好防護措施，就可以大大提高收成好的概率。如果一位懶惰的農民有好收成的概率是10%，一位勤勞、努力的農民就可以把這個概率提高到90%。這就是說，雖然不能在事前確定結果，但是我們可以改變結果發生的概率。

對于一個參加高考的學生而言，即使他平常非常努力，模擬考試的成績也很好，但在高考成績公布之前，誰也不能保證他一定能考上一個好大學。因為有些重要的因素，例如考題的難度、他的臨場發揮情況等，是他不能控制的。但是，如果他在平時努力、認真地做好準備，那么最后考出好成績的概率，肯定比一個平時不學習的人要高得多。

在某次火箭發射前，誰都不能保證這次發射一定能成功。但是如果相關工程人員能夠按照流程做到一絲不茍，不放過任何一個小問題，那么這次發射成功的概率，就可以比沒有嚴格按規范流程做的那次高得多。

概率的世界觀和我們熟知的“謀事在人，成事在天”有相通之處。但是有了概率這個工具，我們對于這句話就有了更清晰的理解：

“謀事在人”指的是我們通過努力，可以提高成功的概率；而成事在天，則指的是既然以概率作為衡量標準，那么即使我們做得再好，也不能保證成功。

如果我們用概率來看之前提到的兩種世界觀，“事在人為”和“宿命論”的問題就可以被看得很清楚。

“事在人為”相信什么事情只要努力就一定能成功，這是不符合事實的。即使天時、地利、人和，也不保證能成功。

“宿命論”認為什么事情都不用做，因為老天都安排好了。這種想法也有很大的問題。雖然努力不能保證人一定成功，但可以提高成功的概率。一個人躺著什么都不做，也可能成為百萬富翁，但是這種事件發生的概率會低到連他自己都不相信。

或許有人會問，如果我已經盡力提高這個概率，但是仍然失敗了怎么辦？

面對這種情況，你可以有兩種選擇：

第一種，找到失敗的原因，如果可以改進就改進，以提高下一次成功的概率（注意是“提高概率”，而不是保證下一次一定能行）；

第二種，如果發現失敗的原因無法控制，就坦然接受這次失敗。

如果你是研究生，你可能會把自己最近的工作寫成一篇論文向一個很好的會議投稿。在錄用通知出來前，誰也無法確定你的論文是否會被錄用，因為有很多因素是你無法控制的，例如審稿人是否理解并欣賞論文的核心貢獻，他看你論文時的心情，他同時評審的其他論文的水平，等等。回溯過去，有很多最后產生了深遠意義的論文，在第一次投稿時都被審稿人批評甚至直接被拒絕。

但是，如果你這篇論文的核心貢獻足夠大，立意新穎，實驗結果很好，文章的表達很清晰，那么這篇論文被錄用的概率就會很高（例如有90%的概率被會議錄用）。但是請記住，這仍然是一個概率，而不是一個確定的結果。

如果你的運氣不好，這篇論文被拒絕了，請不要悲傷，你要做的應該是看一下審稿人的意見。如果某些意見是對的，那么你應該針對這些意見進行修改，提高下一次被錄用的概率；如果經過分析你認為這些審稿人的意見并不客觀，那么你應該直接把這篇文章投向另外一個會議。

前幾年有一部科幻電影，主角在戰場上作為一個新手，偶然獲得了反復穿越到過去的能力，即他一旦被反方的機器大軍殺死，就會穿越回開戰前。他在戰場上為了救出一個代表人類希望的女神，把反復穿越的優勢用到極致：不僅會在每次失敗后總結教訓，提高下一次成功的概率，而且會反復穿越，直到成功為止。

從概率來看，重復的力量是巨大的。假設他每次穿越回去救出女神的概率都是穩定的10%（九死一生），那么從概率來看，穿越回去幾十次后，終有一次成功的概率會提到相當高的程度。

如果我們已經無法改變事情發生的概率，那么我們要做的就是什么也不做。

例如，高考時每考完一科，你應該忘掉這一科而專心準備下一科考試，因為無論你做什么，都不能改變這一科的考試成績。

在博士答辯結束后答辯委員讓你在外面等結論時，你應該靜靜地喝一杯咖啡，因為現在做什么都無法影響結果。

總之，遇見無法改變概率的事情時，你等待結果就可以了，那一刻你可以默默地對自己說一句：一切都是最好的安排。

1.4總結

上面我們談了三種世界觀：“事在人為”“宿命論”和“概率的世界觀”。

“事在人為”認為“雖然人生無奈，但是我們通過自己的努力，一定可以得到自己想要的結果”。這種觀點過于理想化，過于強調人的主觀能動性而忽略了不可控、隨機的因素，往往會被現實中的挫折打擊。

“宿命論”認為一切都是確定的，我們什么都不需要做，冥冥中一切自有安排。這種觀點過于悲觀，并且完全忽視人的主觀能動性，也不符合實際情況。

“概率的世界觀”則告訴我們兩點：第一，很多事情的最終結果在事前只是一個概率，我們不能保證最后的結果，這一點是和“事在人為”的最大區別。第二，雖然不能保證事情最后的結果，但是我們可以改變導致這一結果的概率，這一點是和“宿命論”最大的區別。

這就是使用概率的世界觀的人持有的人生態度：平靜接受現實，努力改變概率。

怎樣讀書看報才能進步最快？

2.1看《甄嬛傳》的別樣方式

我有一個共事多年的同事，我發現他想問題、做事情都比較周全，一些觀點經常能給我啟發。有一次我問他：“透露一下，你是怎么想得這么深的？”

他半開玩笑地對我說：“我經常陪我老婆看一些像《甄嬛傳》《康熙王朝》這樣的電視劇，這些電視劇看得多了，人情世故就懂得多了。”

我聽完很疑惑。我有時候也看電視劇，可是我看電視劇主要為了放松。當看到好的電視劇時，我會被劇情的跌宕起伏帶動，時而激動，時而緊張，總之感覺很“爽”。但是說實話，我從來沒有想過能通過電視劇提高自己在現實生活中的處事能力。我將自己的疑惑告訴他，他笑了笑又和我說了下面這段話。

他說：

“我看電視劇的方式和其他人不一樣。

“例如看《甄嬛傳》，我和我老婆經常在甄嬛遇到某個危機時把電腦暫停一下，然后討論一下，如果我們是甄嬛，要如何解決當前的難題。討論完再接著播放，看看電視劇里甄嬛是如何做的。

“這樣一對比，就知道我們和甄嬛之間的差距在哪里了。這樣的討論多了以后，處理問題的水平自然而然就提高了吧。”

仔細思考一下可以發現，我同事這種看電視劇的方式有兩個特點。

一是主動預測，他不會被情節牽著走，而會在某些時刻主動針對問題進行思考，給出自己的解決方案。

二是從差距中學習，我同事給出的方案，很可能和劇情中人物的方案有差別。他會根據這個差別反思自己，看看自己思維中的漏洞，從而提升自己的思維能力。

注意，第二個特點建立在第一個特點的基礎之上。只有主動給出自己的預測方案，才能用劇情人物給出的方案和自己的進行對比，提高自己。

而現實中的大部分人，包括我自己，看電視劇都只是為了放松和解壓。但是“放松、解壓”的另一面是“被動”：我們總是被劇情牽著走，電視情節是什么，我們就接受什么。不用思考讓人感覺很輕松，看完劇也很爽，但是除了“放松、解壓”，看劇并沒有讓我們在認知水平和思維層次方面有任何進步。

有人會說，我看電視劇不就是為了解壓嗎？你同事看電視劇的方式太累了，至于這樣做嗎？

也許這種說法是有道理的，為了放松而看電視劇也無可厚非。但如果是讀書呢？雖然有人讀書就是為了放松，但是在很多情況下，讀書更是為了從書中獲取知識，得到進步和提升，而不單純是為了放松。

如果你是一個研究生或科研工作者，你就需要更仔細地思考這個問題了。做科研，首先需要讀大量的學術論文，而讀學術論文的目的絕對不是放松和解壓，況且大部分論文在看的過程中都讓人不那么“爽”。如果你用看電視劇的方式看論文，那么我可以負責地告訴你，你看完絕大部分論文后，除了欽佩作者的聰明才智，最有可能收獲的是因感覺自己的智商不如他人而產生的挫敗感。

那么，怎樣讀書、讀論文才能讓我們有更大的收獲呢？我們能否借鑒我同事看《甄嬛傳》的方式呢？

2.2如何讀學術論文

我在我國香港特別行政區工作期間，組里的導師經常會和我們聊天，比如聊一些我們領域中優秀的人的工作方式。有一次談到一個國外的老師，他每年都在頂級的會議和期刊上有穩定的輸出。有人問他如何做到這么高產，他提到了一個自己的工作方式。

我們知道，國外每年大概都有一個月的假期。在休假之前，這位老師會把當年該領域的相關學術論文全都打印出來，然后跑到深山的一個度假村里，每天研讀打印出來的論文。

關鍵在于，他讀論文時并不是把論文從頭到尾地讀下來，而是看到了這個論文要解決的問題之后，立刻把論文扔在一邊；然后開始思考這個問題，并拿出一張白紙把自己的解決方案、推導過程寫下來。

最后，他把自己的答案和文章中給出的方案進行比較，從而獲得靈感和啟發。

很多時候，他給出的方案甚至比手頭的論文還要好，這時候他就把這個點子整理出來，投到會議和期刊上發表。

我們注意到，這個人看學術論文的方式和上面我同事看《甄嬛傳》的方式的本質特點是一樣的。

他會“主動預測”：看到一個問題時，不是著急看其他人怎么解決，而是先自己提出一個方案。他也會“從差距中學習”：把自己的方案和論文中的方案進行對比，從中提高自己。

由此可以看出，“主動預測+從差距中學習”是一種很好的學習方式。

2.3監督學習

前兩節講的兩個例子和機器學習中的一種被稱為監督學習（supervised learning）的學習方式不謀而合。

監督學習是最常見的機器學習方式之一，它的訓練數據集是有標簽的，訓練目標是給新數據（測試數據集）提供正確的標簽。

例如，機器學習可以通過訓練一個模型判斷一張動物圖片中動物的種類。首先，我們要先找一組動物圖片作為訓練數據集，這個數據集中的每張圖片上都有對應的動物種類（又被稱為標簽）。這個標簽就相當于標準答案。

接下來訓練模型的過程大概是：開始時，我們拿一個初始模型對訓練數據集中的某張圖片的種類進行判斷。因為模型不完善，所以其預測結果很可能和真實種類不符。如果模型判斷錯誤，我們就用某種算法調整該模型的參數，讓調整后的模型的輸出盡量和真實的標簽一致。這樣，我們用訓練數據集中的圖片不斷調整模型的參數，直到該模型對訓練數據集的圖片進行的判斷可以很好地符合對應的標簽為止。

我們可以發現，監督學習這一模式的原理和前兩節中的學習方式完全一致。

監督學習有“主動預測”：模型首先要對訓練圖片的類別進行判斷。同樣也有“從差距中學習”：模型會根據自己的判斷與真實標簽的差距不斷調整自己的參數，直到自己的判斷接近真實標簽。

所以說，不管是看電視劇還是讀論文，要想快速提高水平，都應該用“監督學習”的方式：主動對問題進行預測，從差距中學習。

2.4快速看書

最后，我們來思考這種方法如何幫助我們快速看書。

科普專欄作家萬維鋼在他的“精英日課”里，提到美國喬治梅森大學著名經濟學教授泰勒·科文（TylerCowen）有著驚人的看書速度。科文教授看一頁書的速度幾乎和別人看一個標題的速度一樣。而且看完書之后，他確實能夠知道書中的思想。

科文看書這么快的秘訣是什么？他在一篇文章中回答了這個問題。

他說：“要想看書快，你得看過很多書。在你看過很多書之后，你就可以預測你手里這本書的下一頁講的是什么。”

萬維鋼進一步解釋說，真正資深的讀者，讀同一領域內的書肯定是越讀越快。他們能夠一眼發現新的東西，抓住重點，知道這本書在這一領域內處于什么位置，做出了什么新貢獻。其實這種思想就符合監督學習的“主動預測+從差距中學習”。

如果我們仔細分析一個資深讀者的看書方式，會發現他的看書速度通常是動態調整的：

“嗯，這個問題我知道，應該從A角度去分析和解決。”

然后他會掃一眼作者后文中提供的解決方案，看看有沒有A角度的關鍵詞：“沒錯，出現了A角度的關鍵詞，和我的預期相符，跳過，看下一個問題！”

“這個問題我不太熟，我覺得解決方法應該是B。”

往后看，“嗯，里面沒有B方法的關鍵詞，我仔細看看，他竟然用了C方法，這個方法我沒有考慮到，值得好好想想”，于是放慢速度仔細思考。

如果一個資深讀者讀的書多了，腦子里的知識已經融會貫通，那么在大部分情況下，他都可以準確地猜中作者的解決方案，讀書的速度也自然會越來越快。

如果是初入某個領域的讀書人，他看到什么都覺得充滿新奇和陌生，必定讀得很慢。

但不管是哪類讀者，一個好的讀者在閱讀時都應該選擇監督學習，主動預測，并且從差距中學習。好的讀者可以隨時根據預測的正確與否調整速度：預測正確的就快速掃過，錯誤的就慢慢體會，這才是主動的學習。

2.5總結

我們談到了一種讓人更高效地看劇、讀書和讀論文的方法。這種方法的核心和機器學習中的監督學習類似，兩者都是主動針對問題給出自己的答案，然后參考電視劇和書本中給出的答案，從差距中反思，進而提升自己的能力。

這種方式的重點在于“主動”，只有主動思考，你才不會被你看的電視劇、你讀的書牽著走，才能快速進步。

《心中有數》是一本有趣的數學思維書，教你如何用嚴謹的理工科思維，來看待世界中的各種現象，幫助讀者了解數學思維、掌握數學思維，乃至將其運用到生活之中。不需要太多的數學專業知識，通俗易懂，每一位讀者都可以從中獲得感悟。人生其實就是一個不斷尋找最優解的過程，擁有數學思維比做好數學試卷、背會數學公式更重要！

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